Geçenlerde Portekiz’deydim. Matematikçi olduğumu ögrenen liseli bir genç, adı Flavio, kolay anlaşılan, çözümü için pek fazla matematik bilgisi gerekmeyen ilginç matematik soruları sordu bana. Tam bu köşede sorulacak türden sorular… Kimi soru için üç ay boyunca düsünmüş ve sonunda çözümü bulmuş. Hoşuma gitti. Her zaman dediğim gibi, okullarımızda verilen alışkanlığın tam tersine, önemli olan yanıtı bulmak değil, düşünmektir. O genç, sorunun yanıtını bulamayabilirdi, ama inatla üç ay aynı soru üzerinde çalışabilmek başlıbaşına bir erdemdir, hatta bence üniversiteye girmekten daha da önemlidir.
İşte o gencin sorularından biri:
Bin öğrencili bir yatılı okulda her öğrenciye 1’den 1000’e kadar numaralanmış dolaplar verilmiş. Ancak çilingirin yaptığı bir hata sonucu, dolaplardan birinin kilidi döndüğünde (yani dolap açıldığında ya da kapandığında), o dolabın numarasının katı olan dolapların da kilidi dönüyormuş (yani açıksa kapanıyor, kapalıysa açılıyormuş.) Örneğin 8 numaralı dolap açıldığında ya da kapandığında, 16 numaralı dolap açıksa kapanıyor, kapalıysa açılıyormuş. 24, 32, 40.. numaralı dolaplar da ayni akibete uğruyorlarmış.
Dolapların hepsi baslangıçta kapalıymış. Ögrenciler sırayla okula girmişler ve dolaplarının kilitlerini birer kez döndürmüşler. Önce bir numaralı dolabın sahibi öğrenci girmiş ve dolabını açmış. Bütün dolaplar açılmış elbet. Sonra iki numaralı dolabın sahibi öğrenci girmiş, açık dolabını kapatmış ve böylece çift numaralı dolaplar kapanmış. Sonra üç numaralı dolabın sahibi gelmiş, açık dolabını kapatmış ve böylece kapalı olan 6 açılmış, açık olan 9 kapanmış, kapalı olan 12 açılmış…
Soru şu: 1000 öğrenci de dolaplarının kilitlerini sırayla döndürdüklerinde, hangi dolaplar açık kalır?
Önemli olan her dolabın kaç defa açılıp kapandığı. Eğer dolap tek sayıda açılıp kapanıyorsa, açık kalacaktır, yoksa kapalı kalacaktır. Bir dolap kaç defa açılıp kapanır? Kaç sayıya bölünüyorsa o kadar açılıp kapanır. Örneğin, 20 numaralı dolap,
1, 2, 4, 5, 10, 20
numaralı öğrenciler tarafından açılıp kapanır, yani tam altı kez, demek ki 20 numaralı dolap sonunda kapalı kalacaktır. Öte yandan 36 numaralı dolap,
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
numaralı öğrenciler tarafından açılıp kapanır, yani tam dokuz kez, demek ki 36 numaralı dolap sonunda açık kalacaktır.
Dolayısıyla herhangi bir n doğal sayısının kaç doğal sayıya bölündüğünü bulmalıyız.
Doğal sayımızı asallarına ayıralım:
Buradaki p1, p2, …, pr sayıları birbirinden değişik n’yi bölen tüm asallardır. Şimdi n’yi bölen sayıları bulalım. n’yi bölen her sayı, 0 £ b1 £ a1, 0 £ b2 £ a2, .., 0 £ br £ ar eşitsizliklerini sağlayan b1, …, br tamsayıları için,
biçiminde yazılır. Herbir bi için ai + 1 seçimimiz var. Demek ki n’nin
(a1 + 1)(a2 + 1) … (an + 1)
tane böleni var. Bu sayı çiftse n sayılı dolap kapalı kalacaktır, tekse açık kalacaktır. Bu sayının çift olması için yeterli ve gerekli koşul ai + 1 sayılarından birinin çift olmasıdır, yani ai sayılarından birinin tek olmasıdır. Öte yandan yukardaki sayının tek olması için yeterli ve gerekli koşul, ai + 1 sayılarından herbirinin tek olması, yani herbir ai sayısının çift olmasıdır. Her ai’nin çift olması da a’nin bir tamsayının karesi olması demektir. Neden? Çünkü her ai çiftse, ai sayısını 2ci olarak yazabiliriz. O zaman da,
eşitliği geçerlidir. Bunun tersi de doğrudur: Eğer n bir tamsayının karesiyse, ai’lerin herbiri çift olmak zorundadır.
Sonuç olarak, 1, 4, 9, 16, 25, 36 gibi tam bir kare olan dolaplar açık kalacak, tam kare olmayanlar kapalı kalacaklardır.
Matematiksel araştırma yapmak çok kolaydır. Çünkü matematikte araştırma yapmak için kendi kendine bir soru sormak ve bu soru üzerinde düşünmek yeterlidir.
Araştırma yapmak, soruya yanıt vermek demek değildir. Araştırma yapmak, soru üzerinde düşünmek, sorunun derinliğini, zorluğunu anlamak, o soruya benzer sorular sormak demektir. Sorulan soruya yanıt verilirse de fena olmaz elbet, ama ille de yanıt vermek gerekmez.
Aşağıda soracağım soruyu bir ilkokul öğrencisinin kendi kendine soramaması için bir neden göremiyorum; soruyu yanıtlayamaması için bir neden görebiliyorum ama soramaması için bir neden göremiyorum.
Ben ilkokuldayken bu tür soruları sorabilir miydim kendi kendime? Hayır! Bugün düşünüyorum da, ilkokuldayken bu tür soruları kendi kendime neden soramadığımı bulamıyorum. Neyim eksikti? Belki de soru sormak öğretilmemişti bana. Oysa soru sormasını öğrenmek eğitimin en önemli öğesidir. Ne yazık ki öğrenciler okullarda soru sormayı değil yanıt vermeyi öğreniyorlar.
Çocukları bu tür soruları sorabilecek biçimde eğitebildiğimiz gün, yeryüzünün tüm ikincil sorunlarının ya çözüleceğine ya da ortadan kaybolacağına inanıyorum.
Bir ilkokul öğrencisinin bile kendi kendine sorabileceği soru şu: Her üç köşesinin de yandaki sonsuz düzlemin noktalarında olan bir eşkenar üçgen var mıdır?
Varsa hangi üçgendir (köşeleri hangi noktalar üzerindedir), yoksa neden yoktur?
Düzlemin sonsuz olduğunu unutmayalım. Yani, “denedim, olmadı” gibi bir yanıt kabul edilemez. Ayrıca düşey ve yatay ardışık iki nokta arasındaki uzaklık hep aynıdır.
Düşünelim.
Öyle bir eşkenar üçgenin olduğunu varsayalım. Bir saçmalık, bir çelişki, bir çatışkı, bir paradoks (adını siz koyun!) elde edeceğiz ve böylece istediğimiz gibi bir üçgenin olmadığı kanıtlanmış olacak. Bu üçgenin noktalarından herhangi birine (0, 0) kordinatlarını atayalım. İkinci noktamızın kordinatlarına (x, y) diyelim, üçüncü nokta da (z, t). (Yanyana ya da altalta olan iki noktanın aralarındaki uzaklığı birim uzaklık olarak alıyoruz.)
Yukardaki x, y, z ve t kordinat sayılarının birer tamsayı olduklarını unutmayalım.
Eğer bu dört sayının herbiri çiftse, o zaman köşe noktaları (0, 0), (x/2, y/2) ve (z/2, t/2) noktalarından oluşan üçgen koşullarımıza uyan bir başka eşkenar üçgendir. Gerektiğinde ikiye bölerek, bu dört sayının herbirinin çift olmadığını, yani x, y, z ve t sayılarından en az birinin tek olduğunu varsayabiliriz. Bundan böyle bu varsayımı yapıyoruz.
Üç kenarın uzunluklarının karesi şöyledir:
x2 + y2
z2 + t2
(x - z) 2 + (y - t) 2
Üçgenimiz eşkenar olduğundan,
x2 + y2 = z2 + t2 (1)
ve
x2 + y2 = (x - z)2 + (y - t)2 (2)
eşitlikleri geçerlidir. İkinci eşitliği açıp sadeleştirsek,
z2 + t2 = 2xz + 2yt (3)
eşitliğini buluruz. (3) eşitliğinin sağ tarafındaki sayı bir çift sayıdır, demek ki sol tarafındaki de çifttir. Dolayısıyla z ve t sayıları aynı çiftlikte olmalı, yani biri çiftse öbürü de çift olmalı, biri tekse öbürü de tek olmalı. (Yoksa sol taraftaki z2 + t2 bir çift sayı olamaz.)
Aynı şey x ve y sayıları için de geçerlidir elbet: Ya her ikisi birden çifttir ya da her ikisi birden tek.
Bir an için z ve t’nin çift olduklarını varsayalım. O zaman x ve y tek olmak zorundalar. Demek ki x, y, z ve t sayılarını şöyle yazabiliriz:
x = 2x1+1
y = 2y1+1
z = 2z1
t = 2t1
(Burada x1, y1, z1, t1 tamsayılardır.) Bu eşitlikleri (1)’e taşıyalım:
(4x12 + 4x1 + 1) + (4y12 + 4y1 + 1) = 4z12 + 4t12
eşitliğini elde ederiz. Bu son eşitliğin sol tarafındaki sayı dörde bölündüğünde geriye 2 kalır, öte yandan sağ taraftaki sayı dörde bölündüğünde geriye 0 kalır. Bu bir çelişkidir. Demek ki varsayımımız yanlışmış, yani z ve t çift olamazlar, tek olmak zorundalar.
Aynen z ve t için yaptığımız gibi, x ve y’nin de tek olduklarını kanıtlayabiliriz. Demek ki x, y, z ve t sayıları tek sayılar. O zaman, bu dört sayıyı,
x = 2x1 + 1
y = 2y1 + 1
z = 2z1 + 1
t = 2t1 + 1
biçiminde yazabiliriz. Bu eşitlikleri (3)’e yerleştirelim ve hesaplayalım:
(4z12 + 4z1 + 1) + (4t12 + 4t1 + 1) = 2(2x1 + 1)(2z1 + 1) + 2(2y1 + 1)(2t1 + 1).
Soldaki sayı dörde verildiğinde 2 kalır, ama sağdaki sayı dörde tam olarak bölünür. Gene bir çelişki elde ettik. Demek ki öyle bir üçgen yokmuş.
Şimdi araştırma yapmak istiyorsanız, bu sorudan esinlenerek kendi kendinize sorular sorup yanıtlamaya çalışabilirsiniz. Soracağınız sorular yukarda sorduğum soru kadar kolay olmayabilir, hatta belki de matematikte bugüne dek yanıtlanmamış bir soruyu kendinize sorabilirsiniz ayrımına varmadan, daha iyi! Zor sorularla uğraşmak, kolay sorularla uğraşmaktan daha eğlenceli, yani daha kolaydır!
